Mouvement Brownien Forexworld

Mouvement brownien mouvement brownien, aussi appelé mouvement brownien. L'un quelconque de divers phénomènes physiques dans lesquels une certaine quantité subit constamment de petites fluctuations aléatoires. Il a été nommé pour le botaniste écossais Robert Brown. Le premier à étudier ces fluctuations (1827). Si un certain nombre de particules soumises au mouvement brownien sont présentes dans un milieu donné et qu'il n'y a pas de direction préférée pour les oscillations aléatoires, alors sur une période de temps, Les particules auront tendance à être réparties uniformément dans tout le milieu. Ainsi, si A et B sont deux régions adjacentes et, à l'instant t. A contient deux fois plus de particules que B. À cet instant, la probabilité qu'une particule quitte A pour entrer dans B soit deux fois plus grande que la probabilité qu'une particule quitte B pour entrer en A. Le processus physique dans lequel une substance tend à se répandre régulièrement à partir de régions de haute concentration vers des régions de concentration inférieure est appelé diffusion. La diffusion peut donc être considérée comme une manifestation macroscopique du mouvement brownien au niveau microscopique. Ainsi, il est possible d'étudier la diffusion en simulant le mouvement d'une particule brownienne et en calculant son comportement moyen. Quelques exemples des innombrables processus de diffusion étudiés en termes de mouvement brownien incluent la diffusion de polluants dans l'atmosphère. La diffusion de trous (régions minuscules où le potentiel de charge électrique est positif) à travers un semiconducteur. Et la diffusion du calcium à travers le tissu osseux dans les organismes vivants. Les premières recherches Einstein théorie du mouvement brownien1. Standard Brownian Motion Théorie de base En 1827, le botaniste Robert Brown a remarqué que de minuscules particules de pollen, lorsqu'il est suspendu dans l'eau, a montré un mouvement continu, mais très nerveux et erratique. Lors de son année miraculeuse en 1905, Albert Einstein a expliqué physiquement le comportement, montrant que les particules étaient constamment bombardées par les molécules de l'eau, et ainsi aider à établir fermement la théorie atomique de la matière. Le mouvement brownien comme un processus aléatoire mathématique a d'abord été construit de façon rigoureuse par Norbert Wiener dans une série de documents à partir de 1918. Pour cette raison, le processus de mouvement brownien est également connu comme le processus de Wiener. Exécutez la simulation bidimensionnelle de mouvement brownien plusieurs fois en mode simple-étape pour obtenir une idée de ce que M. Brown a pu observer sous son microscope. Avec le processus d'essais de Bernoulli et le processus de Poisson. Le processus de mouvement brownien est d'une importance centrale dans la probabilité. Chacun de ces processus est basé sur un ensemble d'hypothèses idéalisées qui mènent à une riche théorie mathématique. Dans chaque cas également, le procédé est utilisé comme bloc de construction pour un certain nombre de processus aléatoires apparentés qui sont d'une grande importance dans une variété d'applications. En particulier, le mouvement brownien et les processus connexes sont utilisés dans des applications allant de la physique aux statistiques et à l'économie. Définition Un mouvement brownien standard est un processus aléatoire (bs) avec un espace d'état (R) qui satisfait aux propriétés suivantes: (X0 0) (avec probabilité 1). (Bs) présente des incréments stationnaires. C'est-à-dire que pour (s, t dans 0, infty)) avec (s lt t), la distribution de (Xt - Xs) est la même que la distribution de (X). (Bs) a des incréments indépendants. C'est-à-dire que, pour (t1, t2, ldots, tn en 0, infty)), les variables aléatoires (X, X - X, ldots, X - X) sont indépendantes (t1 lt t2 lt cdots lt tn). (Xt) est normalement distribuée avec moyenne 0 et variance (t) pour chaque (t in (0, infty)). Avec probabilité 1, (t mapsto Xt) est continue sur (0, infty)). Pour comprendre les hypothèses physiquement, laissez-les prendre une à la fois. Supposons que nous mesurions la position d'une particule brownienne dans une dimension, en commençant à un temps arbitraire que nous désignons par (t 0), la position initiale désignée par (x 0). Ensuite, cette hypothèse est satisfaite par convention. En effet, parfois, il est commode de relâcher cette hypothèse et de permettre (X0) d'avoir d'autres valeurs. Il s'agit d'une déclaration d'homogénéité temporelle. La dynamique sous-jacente (à savoir le bousculade de la particule par les molécules d'eau) ne change pas avec le temps, donc la distribution du déplacement de la particule dans un intervalle de temps (s, t) ne dépend que de la longueur de l'intervalle de temps. Il s'agit d'une hypothèse idéalisée qui tiendrait approximativement si les intervalles de temps sont grands comparés aux temps minuscules entre les collisions de la particule avec les molécules. Ceci est une autre hypothèse idéalisée basée sur le théorème de la limite centrale: la position de la particule au temps (t) est le résultat d'un très grand nombre de collisions, chacune apportant une contribution très faible. Le fait que la moyenne soit 0 est un énoncé d'homogénéité spatiale. La particule n'est plus ou moins susceptible d'être bousculée à droite qu'à gauche. Ensuite, rappelez-vous que les hypothèses d'incréments stationnaires indépendants signifient que (var (Xt) sigma2 t) pour une certaine constante positive (sigma2). Par un changement d'échelle de temps, on peut supposer (sigma2 1), bien que nous considérions des mouvements browniens plus généraux dans la section suivante. Enfin, la continuité des chemins d'échantillonnage est une hypothèse essentielle, puisque nous modélisons la position d'une particule physique en fonction du temps. Bien sûr, la première question que nous devrions nous poser est de savoir s'il existe un processus stochastique satisfaisant la définition. Heureusement, la réponse est oui, bien que la preuve soit compliquée. Il existe un espace de probabilité ((Omega, mathscr, P)) et un processus stochastique (bs) sur cet espace de probabilité satisfaisant aux hypothèses de la définition. Les hypothèses de la définition conduisent à un ensemble cohérent de distributions de dimension finie (qui sont données ci-dessous). Ainsi par le théorème de l'existence de Kolmogorov. Il existe un processus stochastique (bs) qui a ces distributions dimensionnelles finies. Cependant, (bs) n'a pas de chemin d'échantillonnage continu, mais on peut construire à partir de (bs) un processus équivalent qui possède des chemins d'échantillons continus. Rappelons d'abord qu'un rationnel binaire (ou rationnel dyadique) dans (0, infty)) est un nombre de la forme (k big 2n) où (k dans N). Soit (Q) l'ensemble de tous les rationnels binaires dans (0, infty)), et rappelons que (Q) est dénombrable mais aussi dense dans (0, infty) Q) alors il existe (tn dans Q) pour (n dans N) tel que (tn à t) comme (n à infty)). Si (t) est un rationnel binaire de la forme (k grand 2n) pour un certain (k dans N), pour (n dans N). Si (t) n'est pas un tel rationnel, définissez (Xn (t)) par interpolation linéaire entre les rationnels binaires les plus proches de cette forme de part et d'autre de (t). La convergence est alors uniforme sur (Q cap 0, T) pour tout (T gt 0) et pour la probabilité 1 (Xn (t) à U (t) . Il résulte alors que (bs) est continue sur (Q) avec probabilité 1. Pour la dernière étape, soit (Xt lim Us) pour (t dans 0, infty)). La limite existe puisque (bs) est continue sur (Q) avec probabilité 1. Le processus (bs) est continu sur (0, infty)) avec probabilité 1, et a les mêmes distributions finies de dimension que (bs). Exécutez la simulation du processus de mouvement brownien standard à quelques reprises en mode à une seule étape. Noter le comportement qualitatif des chemins d'échantillonnage. Exécuter la simulation 1000 fois et comparer la fonction de densité empirique et les moments de (Xt) à la vraie fonction de densité de probabilité et de moments. Le mouvement brownien comme limite des randonnées aléatoires Il est clair que la dynamique sous-jacente de la particule brownienne frappée par des molécules suggère une marche aléatoire comme un modèle possible, mais avec de petits pas de temps et de minuscules sauts spatiaux. Soit (bs (X0, X1, X2, ldots)) la marche aléatoire simple symétrique. Ainsi, (Xn somme n Ui) où (bs (U1, U2, ldots)) est une suite de variables indépendantes avec (P (Ui 1) P (Ui -1) frac) pour chaque (i dans N). Rappelons que (E (Xn) 0) et (var (Xn) n) pour (n dans N). De plus, puisque (bs) est le processus de somme partielle associé à une séquence IID, (bs) a des incréments stationnaires indépendants (mais bien sûr en temps discret). Enfin, rappelez-vous que par le théorème de la limite centrale, (Xn grand sqrt) converge vers la distribution normale normale (n vers l'infini). Le processus de temps continu bs (t) à gauche: t dans 0, infty) est un processus de saut avec sauts à () et avec des sauts de taille (pm d) pour (h, d in (0, infty) Fondamentalement, nous aimerions laisser (h abaisser 0) et (d abaisser 0), mais cela ne peut pas être fait arbitrairement. Notez que (EleftX (t) droite 0) mais (varleftX (t) droite d2 lfloor t h rfloor). Ainsi, par le théorème de la limite centrale, si on prend (d sqrt) alors la distribution de (X (t)) converge vers la distribution normale avec moyenne 0 et la variance (t) comme (h downarrow 0). Plus généralement, nous pourrions espérer que toutes les exigences de la définition sont satisfaites par le processus limitatif, et si oui, nous avons un mouvement brownien standard. Exécutez la simulation du processus de marche aléatoire pour augmenter les valeurs de (n). En particulier, exécutez la simulation plusieurs fois avec (n 100). Comparer le comportement qualitatif avec le processus de mouvement brownien standard. Notez que la mise à l'échelle de la marche aléatoire dans le temps et dans l'espace est effectivement réalisée en mettant à l'échelle les axes horizontaux et verticaux dans la fenêtre du graphique. Distributions de dimension finie Soit (bs) un mouvement brownien standard. Il résulte de la partie (d) de la définition que (Xt) a une fonction de densité de probabilité (ft) donnée par ft (x) frac expleft (-frac right), quad x dans R Cette famille de fonctions de densité détermine les distributions dimensionnelles finies de (Bs). Si (t1, t2, ldots, tn dans (0, infty)) avec (0, lt t1 lt t2 cdots lt tn) alors (X, X, ldots, X)) a une fonction de densité de probabilité (f) donnée par (bs ) Est un processus de Gauss avec fonction moyenne fonction moyenne (m (t) 0) pour (t dans 0, infty)) et la fonction de covariance (c (s, t) min) pour (s, t dans 0, infty)). Le fait que (bs) est un processus gaussien, c'est parce que (Xt) est normalement distribué pour chaque (t dans T) et (bs) a des incréments stationnaires et indépendants. La fonction moyenne est 0 par hypothèse. Pour la fonction de covariance, supposons (s,, t dans 0, infty)) avec (s le t). (Xs) et (Xt - Xs) sont indépendants, on a cov (Xs, Xt) covleftXs, Xs (Xt - Xs) droite var (Xs) 0 s Rappelons que pour un processus gaussien, Les distributions sont complètement déterminées par la fonction moyenne (m) et la fonction de covariance (c). Ainsi, un mouvement brownien standard est caractérisé comme un processus Gaussien continu avec les fonctions moyenne et de covariance dans le dernier théorème. Notons aussi que cor (Xs, Xt) frac sqrt, quad (s, t) dans 0, infty) 2 On peut aussi donner les moments supérieurs et la fonction génératrice de moment pour (Xt). Pour (n dans N) et (t dans 0, infty)), (Eleft (Xt droite) 1 cdot 3 cdots (2n - 1) tn (2n) tn grand (n 2n) 0) Preuve: Ces moments résultent des résultats standard, puisque (Xt) est normalement distribué avec moyenne 0 et variance (t). Pour (t dans 0, infty)), (Xt) a la fonction de génération de moment donnée par Eleft (e droite) e, quad u dans R Encore une fois, ceci est un résultat standard pour la distribution normale. Transformations simples Il existe plusieurs transformations simples qui préservent le mouvement brownien standard et nous donneront un aperçu de certaines de ses propriétés. Comme d'habitude, notre point de départ est un mouvement brownien standard (bs). Notre premier résultat est que la réflexion des chemins de (bs) dans la droite (x 0) donne un autre mouvement brownien standard Let (Yt - Xt) pour (t ge 0). Alors (bs) est aussi un mouvement brownien standard. Il est évident que le nouveau processus est encore un processus gaussien, avec une fonction moyenne (E (-Xt) - E (Xt) 0) pour (t dans 0, infty)) et la fonction de covariance (cov (-Xs, - Xt) cov , Xt) min) pour ((s, t) dans 0, inf.) 2). Enfin, puisque (bs) est continue, il en est de même (bs). Notre prochain résultat est lié à la propriété Markov, que nous explorons plus en détail ci-dessous. Si nous relancons le mouvement brownien à un ou plusieurs instants fixes et que nous changeons l'origine (Xs), nous avons un autre mouvement brownien standard. Cela signifie que le mouvement brownien est à la fois temporel et spatialement homogène. Fix (s dans 0, infty)) et définissez (Yt X - Xs) pour (t ge 0). Alors (bs) est aussi un mouvement brownien standard. Puisque (bs) a des incréments stationnaires indépendants, le processus (bs) est équivalent en distribution à (bs). Clairement aussi (bs) est continue puisque (bs) est. Notre résultat suivant est un simple retournement de temps, mais pour déclarer ce résultat, nous devons limiter le paramètre de temps à un intervalle borné de la forme (0, T) où (T gt 0). Le point d'extrémité supérieur (T) est parfois appelé horizon de temps fini. Notez que () satisfait toujours à la définition. Mais avec les paramètres de temps restreints à (0, T). Définir (Yt X - XT) pour (0 le t le T). Alors (bs à gauche) est aussi un mouvement brownien standard sur (0, T). (Bs) est un processus gaussien, car une combinaison linéaire et finie de variables de ce processus se réduit à une combinaison finie et linéaire de variables de (bs). Ensuite, (E (Yt) E (X) - E (XT) 0). Ensuite, si (s, t dans 0, T) avec (s le t), alors commence cov (Ys, Yt) amp cov (X - XT, X - Xt) cov (T - t) - (T - t) T s end Enfin, (t mapsto Yt) est continue sur (0, T) avec Probabilité 1, car (t mapsto Xt) est continue sur (0, T) avec probabilité 1. Notre transformation suivante implique la mise à l'échelle (bs) à la fois temporellement et spatialement, et est connue sous le nom d'auto-similarité. Soit (a gt 0) et définissons (Yt frac X) pour (t ge 0). Alors (bs) est aussi un mouvement brownien standard. Une fois de plus, (bs) est un processus gaussien, puisque des combinaisons linéaires finies de variables dans (bs) se réduisent à des combinaisons linéaires finies de variables dans (bs). Ensuite, (E (Yt) a E (X) 0) pour (t gt 0) et pour (s,, t gt 0) avec (s lt t) cov (Ys, Yt) covleft X droite) frac covleft (X, X droite) frac a2 ss Enfin (bs) est un processus continu puisque (bs) est continue. Notons que le graphe de (bs) peut être obtenu à partir du graphe de (bs) en mettant à l'échelle l'axe temporel (t) d'un facteur de (a2) et en faisant varier l'axe spatial (x) par un facteur de (a). Le fait que le facteur d'échelle temporel doit être le carré du facteur d'échelle spatial est clairement lié au mouvement brownien comme étant la limite des marches aléatoires. Notons également que cette transformation équivaut à un zoom avant ou arrière du graphe de (bs) et donc le mouvement brownien a une qualité fractale auto-similaire, puisque le graphe est inchangé par cette transformation. Cela suggère aussi que, bien que continue, (t mapsto Xt) est très irrégulière. Nous considérons cela dans la prochaine sous-section. Notre transformation finale est appelée inversion de temps. Soit (Y0 0) et (Yt t X) pour (t gt 0). Alors (bs) est aussi un mouvement brownien standard. Il est clair que (bs) est un processus gaussien, puisque les combinaisons finies et linéaires de variables dans (bs) se réduisent à des combinaisons linéaires finies de variables dans (bs). Ensuite, (E (Yt) t E (X) 0) pour (t gt 0) et pour (s,, t gt 0) avec (s lt t) covleft (Ys, Ytright) (T mapsto Xt) est continue sur (0, infty)) avec la probabilité 1, (t mapsto Yt) est continue sur ((0, infty)) avec Probabilité 1. Ainsi, tout ce qui reste est de montrer la continuité à (t 0). Ainsi, nous devons montrer que, avec une probabilité 1, (t X à 0) comme (t downarrow 0). Ou de façon équivalente, (Xs s à 0) comme (s infarctus). Mais cette dernière affirmation tient par la loi du logarithme itéré. donnée ci-après. Irrégularité Les propriétés de définition suggèrent que le mouvement brownien standard (bs) ne peut pas être une fonction lisse et différentiable. Considérons le quotient de différence habituel à (t), frac - Xt Par la propriété des incréments stationnaires, si (h gt 0), le numérateur a la même distribution que (Xh), alors que si (h lt 0), le numérateur a la même Distribution comme (-X), qui à son tour a la même distribution que (X). Ainsi, dans les deux cas, le quotient de différence a la même distribution que (X big h), et cette variable a la distribution normale avec moyenne 0 et variance (lefthright big h2 1 big lefthright). Ainsi, la variance du quotient de différence diverge vers (infty) en tant que (h à 0), et donc le quotient de différence ne converge même pas dans la distribution, la forme de convergence la plus faible. La transformation spatio-temporelle ci-dessus suggère aussi que le mouvement brownien ne peut être différenciable. La signification intuitive de dérivable en (t) est que la fonction est localement linéaire en (t) mdashas que nous zoon dans, le graphe près (t) commence à ressembler à une droite (dont la pente, bien sûr, est la dérivée). Mais comme nous nous concentrons sur le mouvement brownien, (dans le sens de la transformation), il ressemble toujours à la même, et en particulier, juste comme déchiqueté. Plus formellement, si (bs) est différentiable en (t), alors est le processus transformé (bs), et la règle de chaîne donne (Yprime (t) a Xprime (a2 t)). Mais (bs) est aussi un mouvement brownien standard pour tout (a gt 0), donc quelque chose est clairement erroné. Bien que non rigoureuse, ces exemples sont la motivation pour le théorème suivant: Avec la probabilité 1, (bs) n'est nulle part différentiable sur (0, infty)). Exécutez la simulation du processus de mouvement brownien standard. Noter la continuité mais la qualité très dentelée des chemins d'échantillonnage. Bien sûr, la simulation ne peut pas vraiment capturer le mouvement brownien avec une fidélité totale. Les théorèmes suivants donnent une mesure plus précise de l'irrégularité du mouvement brownien standard. Le mouvement brownien standard (bs) possède un exposant Houmllder (frac). C'est-à-dire que (bs) est Houmllder continu avec exposant (alpha) pour chaque (alpha lt frac), mais n'est pas Houmllder continu avec exposant (alpha) pour tout (alpha gt frac). En particulier, (bs) n'est pas Lipschitz continu, et cela montre à nouveau qu'il n'est pas différentiable. Le résultat suivant indique que, en termes de dimension de Hausdorff, le graphique du mouvement brownien standard se trouve à mi-chemin entre une courbe simple (dimension 1) et le plan (dimension 2). Le graphique du mouvement brownien standard a la dimension Hausdorff (frac). Une autre indication de l'irrégularité du mouvement brownien est qu'il a une variation totale infinie sur tout intervalle de longueur positive. Supposons que (a,, b dans R) avec (a lt b). Alors la variation totale de (bs) sur (a, b) est (infty). La propriété Markov et les temps d'arrêt Comme d'habitude, nous commençons par un mouvement brownien standard (bs). Rappelons qu'un processus de Markov a la propriété que l'avenir est indépendant du passé, compte tenu de l'état actuel. En raison de la propriété stationnaire, des incréments indépendants, le mouvement brownien a la propriété. Comme une note mineure, pour voir (bs) comme un processus de Markov, nous avons parfois besoin de relâcher l'hypothèse 1 et laisser (X0) ont une valeur arbitraire dans (R). Soit (mathscr t sigma), la sigma-algèbre générée par le processus jusqu'au temps (t dans 0, infty)). La famille des (sigma) - algèbres (mathfrak t: t dans 0, infty) est connue comme une filtration. Le mouvement brownien standard est un processus de Markov homogène dans le temps avec une densité de probabilité de transition (p) donnée par pt (x, y) ft (y - x) fraction expleft-frac droite, quad t in (0, infty) x, R Fix (s dans 0, infty)). Le théorème découle du fait que le processus (- Xs: t dans 0, infty)) est un autre mouvement brownien standard, comme montré ci-dessus. Et est indépendante de (mathscr s). La densité de transition (p) satisfait aux équations de diffusion suivantes. Le premier est connu comme l'équation directe et le second comme l'équation rétrograde. (X, y) pt (x, y) pt (x, y) p fracture pt (x, y) pt (x, y) Les résultats résultent du calcul standard. Les équations de diffusion sont ainsi nommées, parce que la dérivée spatiale de la première équation est par rapport à (y), l'état avancer au temps (t), tandis que la dérivée spatiale dans la deuxième équation est par rapport à (x), l'état À l'instant 0. Rappelons qu'un temps aléatoire (tau) prenant des valeurs dans (0, infty) est un temps d'arrêt par rapport au processus (bs) si (en mathscr t) pour tout (t dans 0, infty). De façon informelle, nous pouvons déterminer si (tau le t) en observant le processus jusqu'à temps (t). Un cas particulier important est la première fois que notre mouvement brownien atteint un état spécifié. Ainsi, pour (x dans R) let (taux inf). Le temps aléatoire (taux) est un temps d'arrêt. Pour un temps d'arrêt (tau), on a besoin de l'algèbre (sigma) des événements qui peuvent être définis en termes de processus jusqu'au temps aléatoire (tau), analogue à (mathscr t), la (sigma) - algèbre de Événements qui peuvent être définis en termes de processus jusqu'à un temps fixe (t). La définition appropriée est mathscr tau: B cap dans le texte mathscr t ge 0 Voir la section sur Filtrations et Temps d'arrêt pour plus d'informations sur les filtrations, les temps d'arrêt, et l'algèbre (sigma) associée à un temps d'arrêt. La propriété forte de Markov est la propriété de Markov généralisée aux temps d'arrêt. Le mouvement brownien standard (bs) est également un processus de Markov fort. La meilleure façon de dire cela est par une généralisation de l'homogénéité temporelle et spatiale résulte ci-dessus. Supposons que (tau) soit un temps d'arrêt et définissent (Yt X - Xtau) pour (t dans 0, infty)). Alors (bs) est un mouvement brownien standard et est indépendant de (mathscr tau). Le principe de réflexion De nombreuses propriétés intéressantes du mouvement brownien peuvent être obtenues à partir d'une idée intelligente connue sous le nom de principe de réflexion. Comme d'habitude, nous commençons par un mouvement brownien standard (bs). Soit (tau) un temps d'arrêt pour (bs). Ainsi, le graphe de (bs) peut être obtenu à partir du graphe de (bs) en réfléchissant dans la droite (x Xtau) Après le temps (tau). En particulier, si le temps d'arrêt (tau) est (taua), la première fois que le processus atteint un état spécifié (a gt 0), le graphe de (bs) est obtenu à partir du graphe de (bs) La ligne (xa) après le temps (taua). Ouvrez la simulation du mouvement brownien réfléchissant. Cette application montre le processus (bs) correspondant au temps d'arrêt (taua), le temps de la première visite à un état positif (a). Exécutez la simulation en mode d'étape unique jusqu'à ce que vous voyez le processus réfléchi plusieurs fois. Assurez-vous que vous comprenez comment fonctionne le processus (bs). Le processus réfléchi (bs) est également un mouvement brownien standard. Exécutez la simulation du processus de mouvement brownien réfléchi 1000 fois. Compaure la fonction de densité empirique et les moments de (Wt) à la vraie fonction de densité de probabilité et de moments. Martingales Comme d'habitude, soit (bs) un mouvement brownien standard, et let (mathscr t sigma) pour (t dans 0, infty)), de sorte que (mathfrak t: t dans 0, infty) Bs). Il existe plusieurs martingales importantes associées à (bs). Nous étudierons quelques-uns dans cette section et d'autres dans les sections suivantes. Notre premier résultat est que (bs) elle-même est une martingale, simplement en vertu d'avoir des incréments stationnaires, indépendants et 0 moyenne. (Bs) est une martingale par rapport à (mathfrak). Encore une fois, cela est vrai pour tout processus avec des incréments stationnaires et indépendants et 0 moyenne, mais nous donnons la preuve de toute façon, pour l'exhaustivité. Soit (s,, t dans 0, inf.)) Avec (s lt t). Puisque Xs est mesurable par rapport à (mathscr s) et (Xt - Xs) est indépendant de (mathscr s) nous avons Eleft (Xt milieu mathscr sright) EleftXs (Xt - Xs) mid mathscr sright Xs E (Xt - Xs ) Xs La martingale suivante est un peu plus intéressante. Soit (Yt Xt2 - t) pour (t dans 0, infty)). Alors (bs) est une martingale par rapport à (mathfrak). Soit (s,, t dans 0, inf.)) Avec (s lt t). Xt - Xs (Xt - Xs) 2 - t Puisque (Xs) est mesurable par rapport à (mathscr s) et (Xt - Xs) est (Xt - Xs) 0 (Xt - Xs) O (Xt - Xs) X (Xt - Xs) ) 2right var (Xt - Xs) t - s) donc (Eleft (Yt milieu mathscr sright) Xs2 - s Ys). Maximums et temps de frappe Comme d'habitude, nous commençons par un mouvement brownien standard (bs). Pour (y dans 0, infty)) rappelons que (tauy min) est la première fois que le processus frappe l'état (y). Bien sûr, (tau0 0). Pour (t dans 0, infty)), soit (Yt max), la valeur maximale de (bs) sur l'intervalle (0, t). Notons que (Yt) est bien définie par la continuité de (bs), et bien sûr (Y0 0). Nous avons donc deux nouveaux processus stochastiques: () et (). Les deux ont l'ensemble d'index (0, infty)) et (comme nous le verrons) l'espace d'état (0, infty)). En outre, les processus sont inverses l'un de l'autre dans un sens: For (t, y in (0, infty)), (tauy le t) si et seulement si (Yt ge y). Comme le mouvement brownien standard commence à 0 et est continu, les deux événements signifient que le processus frappe l'état (y) dans l'intervalle (0, t). Ainsi, si l'on peut calculer la distribution de (Yt) pour chaque (t in (0, infty)), on peut calculer la distribution de (tauy) pour chacun (y in (0, infty)) et inversement. Pour (y gt 0), (tauy) a la même distribution que (y2 big Z2), où (Z) est une variable normale standard. La fonction de densité de probabilité (gy) est donnée par gy (t) fraction expleft (-frac à droite), quad t in (0, infty) Soit (t gt 0). À partir du résultat précédent. Notez que (Xt ge y implique Yt ge y implique tauy le t). Par conséquent P (Xt ge y) P (Xt ge y, tauy le t) P (Xt ge y tauy le t) P (tauy le t) Mais de la forte propriété de Markov ci-dessus, (s mapsto X (tauy s) Y) est un autre mouvement brownien standard. Par conséquent (P (Xt ge y mi tauy le t) frac). Par conséquent, P (tauy le t) 2 P (Xt ge y) frac intyinfty e, dx fractr int infty e, dz La seconde intégrale suit de la première par le changement de variables (z x grand sqrt). On peut reconnaître cette intégrale comme (Pleft (y2 big Z2 le tright)) où (Z) a une distribution normale normale. Prenant la dérivée de l'intégrale par rapport à (t) donne le PDF. La distribution de (tauy) est la distribution de Leacutevy avec le paramètre d'échelle (y2), et est nommée pour le mathématicien français Paul Leacutevy. La distribution de Leacutevy est étudiée plus en détail dans le chapitre consacré aux distributions spéciales. Ouvrez l'expérience de temps de frappe. Variez (y) et notez la forme et l'emplacement de la fonction de densité de probabilité de (tauy). Pour les valeurs sélectionnées du paramètre, exécutez la simulation en mode à une seule étape plusieurs fois. Ensuite, exécutez l'expérience 1000 fois et comparez la fonction de densité empirique à la fonction de densité de probabilité. Ouvrez le simulateur de distribution spécial et sélectionnez la distribution Leacutevy. Variez les paramètres et notez la forme et l'emplacement de la fonction de densité de probabilité. Pour les valeurs sélectionnées des paramètres, exécutez la simulation 1000 fois et comparez la fonction de densité empirique à la fonction de densité de probabilité. Standard Le mouvement brownien est récurrent. C'est-à-dire (P (tauy lt infty) 1) pour tout (y dans R). Supposons d'abord que (y gt 0). De la preuve du dernier théorème. P (tauy lt infty) lim P (tauy le t) frac int0infty e, dz 1 Notez que l'intégrale ci-dessus équivaut à l'intégrale de la norme PDF normale sur (R). En particulier, la fonction (gy) donnée ci-dessus est vraiment un PDF valide. Si (yt0) alors par symétrie, (tauy) a la même distribution que (tau), donc (P (tauy lt infty) 1). Trivialement, (tau0 0). Ainsi, pour tout (y dans R), (bs) arrive finalement (y) avec probabilité 1. En fait, on peut dire plus: Avec probabilité 1, (bs) visite chaque point de (R). Par continuité, si (bs) atteint (y gt 0) alors (bs) visite chaque point de (0, y). Par symétrie, une déclaration semblable est valable pour (y lt 0). Ainsi l'événement que (bs) visite chaque point de (R) est (bigcap infty gauche (cap lt inftyright)). La probabilité d'une intersection dénombrable d'événements avec la probabilité 1 a encore une probabilité 1. D'un autre côté, le mouvement brownien standard est nul. C'est-à-dire (E (tauy) infty) pour tout (y dans R setminus). Par symétrie, il suffit de considérer (y gt 0). Du résultat ci-dessus sur la distribution de (tauy). E (tauy) int0infty P (tauy gt t), dt frac int0infty int0 e, dz, dt Changer l'ordre d'intégration donne E (tauy) frac int0infty int0 e, dt, dz frac int0infty frac e, dz Ensuite, Liée à la dernière intégrale par intégration sur l'intervalle (0, 1) et notant que (e ge e) sur cette intégrale. Ainsi, E (tauy) ge fract int01 frac, dz infty Le processus () a des incréments stationnaires et indépendants. La preuve repose sur l'homogénéité temporelle et spatiale du mouvement brownien et sur la propriété forte de Markov. Supposons que (x, y dans 0, infty)) avec (x lt y). Par continuité, (bs) doit atteindre (x) avant d'atteindre (y). Ainsi, (tauy taux (tauy - taux)). Mais (tauy - taux) est le temps de frappe de (y - x) pour le processus (t mapsto X (taux t) - x), et comme indiqué ci - dessus. Ce processus est aussi un mouvement brownien standard, indépendant de (mathscr (taux)). Donc (tauy - taux) est indépendant de (mathscr (taux)) et a la même distribution que (tau). La famille des fonctions de densité de probabilité () est fermée sous convolution. C'est-à-dire, (gx gy g) pour (x,, y dans (0, infty)). Cela découle immédiatement du théorème précédent. Une preuve directe est un exercice intéressant. Maintenant, nous nous concentrons sur le processus maximum (), l'inverse du processus de frappe (). Pour (t gt 0), (Yt) a la même distribution que (leftXtright), connue sous le nom de distribution semi-normale avec le paramètre d'échelle (t). La fonction de densité de probabilité est ht (y) sqrt expleft (-frac à droite), quad y en 0, infty) Preuve: A partir de la relation inverse et de la distribution de (tauy), P (Yt ge y) P (tauy le t ) 2 P (Xt ge y) Pleft (gaucheXtright ge yright)) pour (y ge 0). Par définition, (leftXtright) a la distribution semi-normale avec le paramètre (t). Prenant la dérivée négative de l'intégrale ci-dessus, par rapport à (y), donne le PDF. La distribution semi-normale est un cas particulier de la distribution normale pliée. Qui est étudié plus en détail dans le chapitre sur les distributions spéciales. Pour (t ge 0), la moyenne et la variance de (Yt) sont Les résultats de la distribution semi-normale. Dans la simulation de mouvement brownienne standard. Sélectionnez la valeur maximale. Modifiez le paramètre (t) et notez la forme de la fonction de densité de probabilité et l'emplacement et la taille de la barre de déviation standard moyenne. Exécutez la simulation 1000 fois et comparez la densité et les moments empiriques à la vraie fonction de densité de probabilité et aux moments. Ouvrez le simulateur de distribution spécial et sélectionnez la distribution pliée normale. Vary the parameters and note the shape and location of the probability density function and the size and location of the mean-standard deviation bar. For selected values of the parameters, run the simulation 1000 times and compare the empirical density function and moments to the true density function and moments. Zeros and Arcsine Laws As usual, we start with a standard Brownian motion ( bs ). Study of the zeros of ( bs ) lead to a number of probability laws referred to as arcsine laws. because as we might guess, the probabilities and distributions involve the arcsine function. For ( s, t in 0, infty) ) with ( s lt t ), let ( E(s, t) ) be the event that ( bs ) has a zero in the time interval ( (s, t) ). That is, ( E(s, t) u in (s, t) ). Then PleftE(s, t)right 1 - frac arcsinleft(sqrt right) Conditioning on ( Xs ) and using symmetry gives PleftE(s, t)right int infty PleftE(s, t) mid Xs xright fs(x) , dx 2 int 0 PleftE(s, t) mid Xs xright fs(x) , dx But by the homogeneity of ( bs ) in time and space, note that for ( x gt 0 ), ( PleftE(s, t) mid Xs - xright P(taux lt t - s) ). That is, a process in state ( - x ) at time ( s ) that hits 0 before time ( t ) is the same as a process in state 0 at time 0 reaching state ( x ) before time ( t - s ). Hence PleftE(s, t)right int0infty int0 gx(u) fs(-x) , du , dx where ( gx ) is the PDF of ( taux ) given above. Substituting gives PleftE(s, t)right frac int0 u int0infty x expleft-frac x2 left(frac right) right , dx , du frac int0 frac , du Finally substituting ( v sqrt ) in the last integral give PleftE(s, t)right frac int0 frac , dv frac arctan left(sqrt - 1right) 1 - frac arcsinleft(sqrt right) In paricular, ( PleftE(0, t)right 1 ) for every ( t gt 0 ), so with probability 1, ( bs ) has a zero in ( (0, t) ). Actually, we can say a bit more: For ( t gt 0 ), ( bs ) has infinitely many zeros in ( (0, t) ) with probability 1. The event that ( bs ) has infinitely many zeros in ( (0, t) ) is ( bigcap infty E(0, t n) ). The intersection of a countable collection of events with probability 1 still has probability 1. The last result is further evidence of the very strange and irregular behavior of Brownian motion. Note also that ( PleftE(s, t)right ) depends only on the ratio ( s t ). Thus, ( PleftE(s, t)right PleftE(1 t, 1 s)right) and (PleftE(s, t)right PleftE(c s, c t)right ) for every ( c gt 0 ). So, for example the probability of at least one zero in the interval ( (2, 5) ) is the same as the probability of at least one zero in ( (15, 12) ), the same as the probability of at least one zero in ( (6, 15) ), and the same as the probability of at least one zero in ( (200, 500) ). For ( t gt 0 ), let ( Zt ) denote the time of the last zero of ( bs ) before time ( t ). That is, ( Zt maxleft ). Then ( Zt ) has the arcsine distribution with parameter ( t ). The distribution function ( Ht ) and the probability density function ( ht ) are given by begin Ht(s) amp frac arcsinleft(sqrt right), quad 0 le s le t ht(s) amp frac , quad 0 lt s lt t end For ( 0 le s lt t ), the event ( Zt le s ) is the same as ( lefE(s, t)rightc ), that there are no zeros in the interval ( (s, t) ). Hence the formula for ( Ht ) follows from the result above. Taking the derivative of ( Ht ) and simplifying gives the formula for ( ht ). The density function of ( Zt ) is ( u )-shaped and symmetric about the midpoint ( t 2 ), so the points with the largest density are those near the endpoints 0 and ( t ), a surprising result at first. The arcsine distribution is studied in more detail in the chapter on special distributions . The mean and variance of ( Zt ) are These are standard results for the arcsine distribution. That the mean is the midpoint (t2) also follows from symmetry, of course. In the simulation of standard Brownian motion. select the last zero variable. Vary the parameter ( t ) and note the shape of the probability density function and the size and location of the mean-standard deviation bar. For selected values of ( t ) run the simulation is single step mode a few times and note the position of the last zero. Finally, run the simulation 1000 times and compare the empirical density function and moments to the true probability density function and moments. Open the special distribution simulator and select the arcsine distribution. Vary the parameters and note the shape and location of the probability density function and the size and location of the mean-standard deviation bar. For selected values of the parameters, run the simulation 1000 times and compare the empirical density function and moments to the true density function and moments. Now let ( Z ) denote the set of zeros of ( bs ), so that ( Z ) is a random subset of ( 0, infty) ). The theorem below gives some of the strange properties of the random set ( Z ), but to understand these, we need to review some definitions. A nowhere dense set is a set whose closure has empty interior. A perfect set is a set with no isolated points. As usual, we let ( lambda ) denote Lebesgue measure on ( R ). With probability 1, ( Z ) is closed. ( lambda(Z) 0 ) ( Z ) is nowhere dense. ( Z ) is perfect. Proof: Note that ( Z) is the inverse image of the closed set ( ) under the function ( t mapsto Xt ). Since this function is continuous with probability 1, ( Z ) is closed with probability 1. For each ( t in (0, infty) ) note that ( P(t in Z) P(Xt 0) 0 ) since ( Xt ) has a continuous distribution. Using Fubinis theorem Eleftlambda(Z)right E leftint0infty bs Z(t) , dlambda(t)right int0infty Eleftbs Z(t)right , dlambda(t) 0 and hence ( Pleftlambda(Z) 0right 1 ), Since ( Z ) is closed and has Lebesgue measure 0, its interior is empty (all of these statements with probability 1). Suppose that ( s in Z ). Then by the temporal and spatial homogeneity properties, ( t mapsto X ) is also a standard Brownian motion. But then by the result above on zeros. with probability 1, ( bs ) has a zero in the interval ( (s, s 1 n) ) for every ( n in N ). Hence ( s ) is not an isolated point of ( Z ). The following theorem gives a deeper property of ( Z ). The Hausdorff dimension of ( Z ) is midway between that of a point (dimension 0) and a line (dimension 1). ( Z ) has Hausdorff dimension (frac ). The Law of the Iterated Logarithm As usual, let ( bs ) be standard Brownian motion. By definition, we know that ( Xt ) has the normal distribution with mean 0 and standard deviation ( sqrt ), so the function ( x sqrt ) gives some idea of how the process grows in time. The precise growth rate is given by the famous law of the iterated logarithm Computational Exercises In the following exercises, ( bs ) is a standard Brownian motion process. Explicitly find the probability density function, covariance matrix, and correlation matrix of ( (X , X1, X ) ).